运用微积分来求圆的面积(如何用python计算圆的面积)

高中课本中有关于用微积分求圆的课程,本节课程我们来复分一下微积分的课程,后面我们再用Python写一段代码来求圆的面积。是不是很有意思呢?

微积分的一个基本应用,是求平面直角坐标内一条函数曲线y=f(x)在给定的定义域内x∈[a,b]与自变量轴线X围合的面积。在常见的几何图形内,圆形是一个很好的例子。

那么怎么运用微积分来求圆的面积呢?过程很简单——把圆形切割成一条条的线,只要这些线的长度能用函数的形式写出来就OK了。

基于圆形的轴对称和各向同性,我们有两种切割线的方法,一种是水平切割,一种是同心圆切割。

微积分的应用实例,如何求圆的面积?

我们讲过微积分的原理是导函数和原函数的相互转换,也是微分和积分的互逆。其中,导数f'(x)负责描述构成平面图形的直线的函数,微分f'(x)*△x在定义区间上的集合负责描述整个平面图形,积分负责计算。

在这里,用水平切割线求圆形面积,需要先用函数来表达水平切割线的长度。

微积分的应用实例,如何求圆的面积?

如上图,在区间x∈[0,R]任意取值x,对应的有x²+y²=R²,于是在第一象限内有:

微积分的应用实例,如何求圆的面积?

由圆形的对称性,我们只需计算第一象限内的四分之一圆的面积即可。于是,得圆形面积的微分表达式:

微积分的应用实例,如何求圆的面积?

它的积分形态,可以通过查不定积分表得知,然后,计算圆形的面积

微积分的应用实例,如何求圆的面积?

有的同学表示,这样子看起来好麻烦,没有割圆法来得简单明了。那是因为圆形是图形中的特例,对于一般可积的图形来说,麻烦总比不知道怎么办要好吧。

而且,这也不能叫麻烦,求面积的过程还是很简单的,只需要把平面图形解构成直线就好了。何况,我们还有积分表可以查,剩下的工作,就是做点加减乘除四则运算。

基于圆形的各向共性,按同心圆切割会使计算简单许多。

微积分的应用实例,如何求圆的面积?

这样,导函数就是圆形的周长公式,于是,得圆形面积的微分表达式:

微积分的应用实例,如何求圆的面积?

然后,计算圆形的面积:

微积分的应用实例,如何求圆的面积?

第二种方法虽然简单一些,但是不具有一般性,常规的做法还是用第一种。

PYTHON计算圆的面积

引入pi的两种方法:

方法一:

1
2
import math
print(math.pi)

方法二:

1
2
from math import pi
print(pi)

计算圆的面积的代码:

1
2
3
4
5
#计算圆的面积
from math import pi
r=float(input('输入半径的长度:'))
area=pi*r**2
print('输出圆的面积:',area)
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